Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.
В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций по схеме:
- поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);
- четность и нечетность;
- промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);
- наклонные и горизонтальные асимптоты;
- особые точки функций;
- особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).
Если Вас интересует или , то можете перейти к этим разделам теории.
Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n -ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Навигация по странице.
Постоянная функция.
Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , где C – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С . Постоянную функцию также называют константой.
Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C) . Для примера покажем графики постоянных функций y=5 , y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.
Свойства постоянной функции.
- Область определения: все множество действительных чисел.
- Постоянная функция является четной.
- Область значений: множество, состоящее из единственного числа С .
- Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).
- Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.
- Асимптот нет.
- Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.
Корень n -ой степени.
Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n – натуральное число, большее единицы.
Корень n -ой степени, n - четное число.
Начнем с функции корень n -ой степени при четных значениях показателя корня n .
Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций 
и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.
Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.
Свойства функции корень n -ой степени при четных n .
Корень n -ой степени, n - нечетное число.
Функция корень n
-ой степени с нечетным показателем корня n
определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций 
и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.
При других нечетных значениях показателя корня графики функции будут иметь схожий вид.
Свойства функции корень n -ой степени при нечетных n .
Степенная функция.
Степенная функция задается формулой вида .
Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.
Начнем со степенной функции с целым показателем a . В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a , далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a .
Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a . Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.
В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.
Степенная функция с нечетным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,… .
На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x .
Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.
Степенная функция с четным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,… .
В качестве примера приведем графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола .
Свойства степенной функции с четным положительным показателем.
Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.
Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,… .
На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность , графиком которой является гипербола .
Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.
Степенная функция с четным отрицательным показателем.
Перейдем к степенной функции при а=-2,-4,-6,… .
На рисунке изображены графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия.
Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.
Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.
Обратите внимание! Если a - положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество . Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.
Рассмотрим степенную функцию с рациональным или иррациональным показателем a , причем .
Приведем графики степенных функций при а=11/12 (черная линия), а=5/7 (красная линия), (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).
Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.
Рассмотрим степенную функцию с нецелым рациональным или иррациональным показателем a , причем .
Приведем графики степенных функций, заданных формулами 
(черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).
При других значениях показателя степени a , графики функции будут иметь схожий вид.
Свойства степенной функции при .
Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.
Обратите внимание!
Если a
- отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал 
. При этом оговариваются, что показатель степени a
– несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.
Переходим к степенной функции , кгода .
Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при , приведем примеры графиков функций 
(черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).
Свойства степенной функции с показателем a , .
Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.
Приведем примеры графиков степенных функций при 
, они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.
Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.
При а=0 и имеем функцию - это прямая из которой исключена точка (0;1) (выражению 0 0 условились не придавать никакого значения).
Показательная функция.
Одной из основных элементарных функций является показательная функция.
График показательной функции , где и принимает различный вид в зависимости от значения основания а . Разберемся в этим.
Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, .
Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала .
Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.
Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, .
В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций – синяя линия и – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.
Свойства показательной функции с основанием большим единицы.
Логарифмическая функция.
Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при .
График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а .
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Школа №77»
Сормовского района г. Нижнего Новгорода
Научное общество учащихся
Графики и их функции
Выполнил: Баканин Тимофей,
ученик 9-А класса
Научный руководитель: Григоренко Л.А.
Г. Нижний Новгород
2016
Содержание
Вступление…………………………………………………………………………………...3
Функциональная зависимость и график функции. Способы задания функции……..4
Простейшие элементарные функции…………………………………………………...5
Линейная функция
Парабола
Гипербола
Степенная функция
3.Геометрические преобразования графиков функции…………………………………..11
4.Построение графиков функции………………………………………………………….12
5.Применение графиков функции к решению задач……………………………………..17
Заключение……………………………………………………………………………...22
Список литературы……………………………………………………………………..23
Вступление.
Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес. Существуют различные способы задания функций: аналитический, табличный, словесный, параметрический, а также графический.
Всегда, когда нужно выяснить общий характер поведения функции, обнаружить ее особенности, график в силу своей наглядности является незаменимым.
Действительно, график функции есть изображение нашего понимания того, как ведет себя функция. Для этого необходимо знать элементарные функции, их свойства и графики, владеть методикой построения графиков.
В технике и физике часто пользуются именно графическим способом задания функции. Ученый-сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу и характер толчков. Врач, исследующий больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности: изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Инженер - радиоэлектроник по характеристике полупроводникового элемента выбирает наиболее подходящий режим его работы. По мере развития математики растет проникновение графического метода в самые различные области жизни человека. В частности, использование функциональных зависимостей и построение графиков широко применяется в экономике.
С развитием вычислительной техники, с ее прекрасными графическими средствами и высокими скоростями выполнения операций, работа с графиками функций стала значительно интересней, наглядней, увлекательней.
Я выбрал именно эту тему для своей работы, потому что она поможет мне в сдаче экзаменов и интересна сама по себе.
Функциональная зависимость и график функции. Способы задания функции
Если каждому значению x из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число y , то говорят, что на этом множестве задана функция y(x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а y – зависимой переменной или функцией.
Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать её аргумент.
Если функция задана формулой, то принято считать, что она определена при всех тех значениях аргумента, при которых эта формула имеет смысл, т.е. выполнимы все действия, указанные в выражении, стоящем в правой части формулы.
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной из области определения этой функции, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Способы задания функции:
1)Табличный способ
При этом способе ряд отдельных значений аргумента,…, и соответствующий ему ряд отдельных значений функции,…, задаются в виде таблицы. Несмотря на простоту, такой способ задания функции обладает существенным недостатком, так как не дает полного представления о характере функциональной зависимости между x и y и не является наглядным.
2)Словесный способ
Обычно этот способ задания иллюстрируют примером функции Дирихле y = D ( x ): если x -рациональное число, то значение функции D ( x ) равно 1, а если число x -иррациональное, то значение D ( x ) равно нулю. Таким образом, чтобы найти значение D () при заданном значении x =, необходимо каким-либо способом установить, рационально или иррационально число.
3)Графический способ
Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции y = f ( x ). Преимуществом такого способа задания является наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции. Недостаток графического способа заключается в невозможности применения математического аппарата для более детального исследования функции.
4)Аналитический способ
При аналитическом способе задания известна формула, по которой по заданному значению аргумента x можно найти соответствующее значение функции y . В математике чаще всего используется именно аналитический способ задания функций. Преимуществами такого способа задания являются компактность, возможность подсчета значения y при любом значении x и возможность применения математического аппарата для более детального исследования поведения функции. Однако аналитическому способу задания функции присуща недостаточная наглядность и возможная трудность вычисления значений функции.
Простейшие элементарные функции.
1) Линейная:
Свойства:
1. D ( y ) = (−∞; +∞); E ( y ) = (−∞; +∞).
2.Если b = 0, то функция нечетная.
Если b
3. Если х = 0, то у = b , если у = 0, то х = − .
4. Если k > 0, то функция возрастает при х-любое.
Если k < 0, то функция убывает при х-любое.
Построение линейной функции.
Для того, чтобы построить прямую, достаточно знать две точки. Построить график функции y =2 x +1 .
x2) Квадратичная функция: ; .
Свойства:
1. D ( y ) = (−∞; +∞).
2. Если a > 0, то E ( y ) = [у в ; +∞);
Если a < 0, то E ( y ) = (−∞; у в ].
3.Если b = 0, то функция четная.
Если b ≠ 0, то функция ни четная, ни нечетная.
4.Если х = 0, то у = c , если у = 0, то х 1,2 =
5. Если a > 0, то функция возрастает при х[ x в ; +∞);
функция убывает при х(−∞; х в ].
Если a < 0, то функция возрастает при х(−∞; х в ];
функция убывает при х[ x в ; +∞).
Построение параболы.
Определить направление ветвей параболы.
Если, то ветви направлены вверх,
Если, то ветви направлены вниз.
Найти вершину параболы используя две формулы по очереди: и.
Нанести полученную точку на график и провести через неё ось симметрии, параллельно координатной оси Oy .
Найти 4 точки графика путем подстановки значений x под формулу.
По найденным точкам построить график.
3) Гипербола:
Свойства:
1. D ( y ) = (−∞; 0) u (0; +∞)
2. E ( y ) = (−∞; 0) u (0 ; +∞)
3. Функция нечетная.
4. х ≠ 0, у ≠ 0.
5. Если k > 0, то функция убывает
при х(−∞; 0) u (0; +∞).
Если k < 0, то функция возрастает
при х(−∞; 0) u (0; +∞).
Построение гиперболы.
Находим область определения
Функция является нечётной , а значит, гипербола симметрична относительно начала координат.
График функции вида представляют собой две ветви гиперболы .
Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях
Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях .
Используем поточечный метод построения, при этом,
значения x выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело.
4)Функция с модулем:
Построение функции с модулем.
Рассмотрим простейший случай
Для функция совпадает с функцией, а для х<0 - с функцией.
5)Степенная функция:
Свойства:
Если n = 2 k , где k Є Z
1. D ( y )=(−∞; +∞).
2. E ( y )=.
Если n = 2 k +1, где k Є Z
1. D ( y )=(−∞; +∞).
2. E ( y )=(−∞; +∞).
3. Функция нечетная.
4. Если х = 0, то у = 0.
5. Функция возрастает при хЄ(−∞; +∞).
Построение кубической параболы.
Кубическая парабола задается функцией
Находим область определения – x -любое действительное число
Область значений функции- y -любое действительное число.
Функция является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат .
Используя поточечный метод построения, делаем чертеж.
Геометрические преобразования графиков функций.
1)Преобразование вида y = f ( x )+ b
y = f (x ) на b единиц вдоль оси ординат.
Если b > 0, то происходит смещение
Если b <0, то происходит смещение↓
2)Преобразование вида y = f (x – a )
Это параллельный перенос графика функции y = f (x ) на a единиц вдоль оси абсцисс
Если а > 0, то происходит смещение →
Если а < 0, то происходит смещение ←
3)Преобразование вида y = kf (x )
Это растяжение (сжатие) в k раз графика функции y = f (x ) вдоль оси ординат.
Если, | k | > 1, то происходит растяжение
Если, | k | < 1, то происходит сжатие
4)Преобразование вида y = f (mx )
Это растяжение (сжатие) в m раз графика функции y = f (x ) вдоль оси абсцисс
Если, | m |> 1, то происходит сжатие
Если, | m |< 1, то происходит растяжение
5)Преобразование вида y = | f (x )|
Это отображение нижней части
графика функции y = f (x ) в верхнюю
полуплоскость относительно оси абсцисс
с сохранением верхней части графика
6)Преобразование вида y = f (| x |)
Это отображение правой части графика функции y = f (x ) в левую полуплоскость относительно оси ординат с сохранением правой части графика
Построение графиков функций.
1)Построить график функции y =+
y=
x =-1 и x =1 – точки излома
2) Построить график функции y =
y =
3) Построить график функции y =,
Область определения: x ≠0
y =
4) Построить график функции y =
Область определения: x ≠1
1)≥0 2) <0
≥1 <1
≥1 -1< x <1
x ≤-1 , x ≥1 y ==- x -1
так как x ≠1, то x ≤-1, x >1
y == x +1
5) Построить график функции y =
Область определения: x ≠1
=1,5±0,5
=2, =1
1) x-1>0, x>1
y===x-2
y=x-2, x>1
2) x-1<0, x<1
y==-x+2
y=-x+2, x<1
6) Построить график функции y =+
y=+=+
x<-2, y=-x+1-x-2=-2x-1
-2≤x≤1, y=-x+1+x+2=3
x≥1, y=x-1+x+2=2x=1
7) Построить график функции y =
Область определения: -1≠0, x ≠±1
1) x -1>0, x >1, y ==
2) x-1<0, x<1, y==
y= (x) =
y=(x) =(x-1) =
y =(x ) =(-x)== -
8) Построить график функции y =
Область определения: x ≠0
Функция нечетная, то ветви графика симметричны относительно начала координат.
Применение графиков функций к решению задач.
1)При каких значениях параметра
k
уравнение
=
k
имеет два корня?
Решение.
1. k ≥0
2.Построим график y =
a ) Область определения функции: x ≠±1.
б)
в) Поскольку функция четная, гипербола симметричная относительно оси Oy .
3.Так как уравнение имеет 2 корня, прямая y = k должна пересекать график в двух точках. Следовательно, 1< k <2. Заметим, что при k =2 будет три корня.
2)При каких значениях параметра
k
уравнение
= k имеет 4 корня?
Решение.
Правая часть уравнения может быть только неотрицательной, то есть k ≥0.
Построим график функции
y=
a )
б)
Ответ:
а) Если k =0, то уравнение имеет 4 корня(-4;-2;2;4)
б) Если 1< k <8, то уравнение имеет 4 корня(-5,5;-0,5;0,5;5,5)
3)Решить неравенство
x -1 <
Решение.
1.Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций
y = x -1 и y =.
2.Решим уравнения:
А) x -1=-5 x +4 Б) x -1= -(-5 x +4)
x -1= -+5 x -4
=5, =1 =0
=3, =1.
3.Построим графики функций
y = x -1 и y =
y =
= - = 2,5
=
(2,5;-2,25)-вершина параболы.
y =0: -5 x +4=0
=2,5±1,5
=4; =1
y (0)=4
Ответ: x <1,1< x <3, x >5.
4) Решить уравнение 1-=.
Решение.
Изобразим в одной системе координат графики функций y =1- и y =
Графики пересеклись в точке (-1;2). Следовательно, корень данного уравнения x =-1.
Ответ: x= -1
Постройте график функции
и определите, при каких значениях прямая будет пересекать построенный график в трёх точках.
Решение .
Построим график функции
Из графика видно, что прямая у = с будет иметь с графиком ровно три точки пересечения при с принадлежащим множеству: (0;5).
Ответ: (0; 5).
Постройте график функции у = и определите, при каких значениях k построенный график не будет иметь общих точек с прямой у= k х.
Решение.
Область определения: х и х
Преобразуем функцию к виду: у = . График - прямая у = х-3 без двух точек (-3; -6) и (9; 6).
Прямая у= k х не будет иметь с построенной прямой общих точек, если она будет ей параллельна, т. е. при k =1, и если она будет проходить через выколотые точки. Через первую из этих точек прямая проходит, если k =2, а через вторую - если
k =
Ответ: ; 1;2.
Заключение
Выполнив данную работу, я научился выполнять построение графиков функций при помощи геометрических преобразований. Это поможет мне решать различные типы задач (неравенства, уравнения, задачи с параметром) графическим способом. Таким образом я готовлюсь к успешной сдаче экзамена ОГЭ и ЕГЭ.
Список литературы:
Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решение. Пособие для поступающих в вузы. – М.: АРКТИ, 2001
Дороднов А.М. и др. Графики функции. Учебное пособие для поступающих в вузы. М., «Высш.школа», 1972
Гельфанд И.М., Е.Г. Глаголева, Э.Э. Шноль Функции и их графики «Наука» Москва 1971
Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: М.: Просвещение, 1985
Открытый банк заданий ФИПИ
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2011
1. Дробно-линейная функция и ее график
Функция вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, называется дробно-рациональной функцией.
С понятием рациональных чисел вы уже наверняка знакомы. Аналогично рациональные функции – это функции, которые можно представить как частное двух многочленов.
Если дробно-рациональная функция представляет собой частное двух линейных функций – многочленов первой степени, т.е. функцию вида
y = (ax + b) / (cx + d), то ее называют дробно-линейной.
Заметим, что в функции y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (иначе функция становится линейной y = ax/d + b/d) и что a/c ≠ b/d (иначе функция константа). Дробно-линейная функция определена при всех действительных числах, кроме x = -d/c. Графики дробно-линейных функций по форме не отличаются от известного вам графика y = 1/x. Кривая, являющаяся графиком функции y = 1/x, называется гиперболой . При неограниченном увеличении x по абсолютной величине функция y = 1/x неограниченно уменьшается по абсолютной величине и обе ветки графика приближаются к оси абсцисс: правая приближается сверху, а левая – снизу. Прямые, к которым приближаются ветки гиперболы, называются ее асимптотами .
Пример 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Решение.
Выделим целую часть: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 3 единичных отрезка вправо, растяжением вдоль оси Oy в 7 раз и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх.
Любую дробь y = (ax + b) / (cx + d) можно записать аналогичным образом, выделив «целую часть». Следовательно, графики всех дробно-линейных функций есть гиперболы, различным образом сдвинутые вдоль координатных осей и растянутые по оси Oy.
Для построения графика какой-нибудь произвольной дробно-линейной функции совсем не обязательно дробь, задающую эту функцию, преобразовывать. Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, будет достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветки – асимптоты гиперболы x = -d/c и y = a/c.
Пример 2.
Найти асимптоты графика функции y = (3x + 5)/(2x + 2).
Решение.
Функция не определена, при x = -1. Значит, прямая x = -1 служит вертикальной асимптотой. Для нахождения горизонтальной асимптоты, выясним, к чему приближаются значения функции y(x), когда аргумент x возрастает по абсолютной величине.
Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
При x → ∞ дробь будет стремиться к 3/2. Значит, горизонтальная асимптота – это прямая y = 3/2.
Пример 3.
Построить график функции y = (2x + 1)/(x + 1).
Решение.
Выделим у дроби «целую часть»:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 1 единицу влево, симметричным отображением относительно Ox и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх по оси Oy.
Область определения D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Область значений E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Точки пересечения с осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функция возрастает на каждом из промежутков области определения.
Ответ: рисунок 1.
2. Дробно-рациональная функция
Рассмотрим дробно-рациональную функцию вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, степени выше первой.
Примеры таких рациональных функций:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Если функция y = P(x) / Q(x) представляет собой частное двух многочленов степени выше первой, то ее график будет, как правило, сложнее, и построить его точно, со всеми деталями бывает иногда трудно. Однако, часто достаточно применить приемы, аналогичные тем, с которыми мы уже познакомились выше.
Пусть дробь – правильная (n < m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).
Очевидно, что график дробно-рациональной функции можно получить как сумму графиков элементарных дробей.
Построение графиков дробно-рациональных функций
Рассмотрим несколько способов построения графиков дробно-рациональной функции.
Пример 4.
Построить график функции y = 1/x 2 .
Решение.
Используем график функции y = x 2 для построения графика y = 1/x 2 и воспользуемся приемом «деления» графиков.
Область определения D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Область значений E(y) = (0; +∞).
Точек пересечения с осями нет. Функция четная. Возрастает при все х из интервала (-∞; 0), убывает при x от 0 до +∞.
Ответ: рисунок 2.
Пример 5.
Построить график функции y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Решение.
Область определения D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/3 + 1/3.
Здесь мы использовали прием разложения на множители, сокращения и приведения к линейной функции.
Ответ: рисунок 3.
Пример 6.
Построить график функции y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
Решение.
Область определения D(y) = R. Так как функция четная, то график симметричен относительно оси ординат. Прежде чем строить график, опять преобразуем выражение, выделив целую часть:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Заметим, что выделение целой части в формуле дробно-рациональной функции является одним из основных при построении графиков.
Если x → ±∞, то y → 1, т.е. прямая y = 1 является горизонтальной асимптотой.
Ответ: рисунок 4.
Пример 7.
Рассмотрим функцию y = x/(x 2 + 1) и попробуем точно найти наибольшее ее значение, т.е. самую высокую точку правой половины графика. Чтобы точно построить этот график, сегодняшних знаний недостаточно. Очевидно, что наша кривая не может «подняться» очень высоко, т.к. знаменатель довольно быстро начинает «обгонять» числитель. Посмотрим, может ли значение функции равняться 1. Для этого нужно решить уравнение x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней. Значит, наше предположение не верно. Чтобы найти самое большое значение функции, надо узнать, при каком самом большом А уравнение А = x/(x 2 + 1) будет иметь решение. Заменим исходное уравнение квадратным: Аx 2 – x + А = 0. Это уравнение имеет решение, когда 1 – 4А 2 ≥ 0. Отсюда находим наибольшее значение А = 1/2.
Ответ: рисунок 5, max y(x) = ½.
Остались вопросы? Не знаете, как строить графики функций?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:
Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:
Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:
Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости - первые две формулы, для трехмерной системы координат - все три формулы) вычисляются по формулам:
Функция – это соответствие вида y = f (x ) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у . При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х .
Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х ), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D (y ). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.
Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е (у ).
Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.
Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.
Функцию y = f (x ) называют четной х
Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.
Функцию y = f (x ) называют нечетной , если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:
Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.
Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х .
Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида , и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.
Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:
График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
График квадратичной функции (Парабола)
График параболы задается квадратичной функцией:
Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x 1 ; 0) и (x 2 ; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x 0 ; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c ). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):
При этом:
- если коэффициент a > 0, в функции y = ax 2 + bx + c , то ветви параболы направлены вверх;
- если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p - на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):
Игрек вершины (q - на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:
Графики других функций
Степенной функцией
Приведем несколько примеров графиков степенных функций:
Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:
В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:
Асимптота - это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.
Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:
a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):
Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:
В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:
График функции y = |x | выглядит следующим образом:
Графики периодических (тригонометрических) функций
Функция у = f (x ) называется периодической , если существует такое, неравное нулю, число Т , что f (x + Т ) = f (x ), для любого х из области определения функции f (x ). Если функция f (x ) является периодической с периодом T , то функция:
где: A , k , b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T 1 , который определяется формулой:
Большинство примеров периодических функций - это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой :
График функции y = cosx называется косинусоидой . Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:
График функции y = tgx называют тангенсоидой . Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.
Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой . Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.
Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.
Нашли ошибку?
Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.
